在近日出版的国家自然科学基金委2024年度报告中， 上海交通大学自然科学研究院/数学科学学院及密西根学院的金石和Nana Liu教授的偏微分方程的量子算法研究成果入选年度资助成果巡礼。 这是该年度入选的唯一数学成果。他们和博士后余越的研究成果以“Quantum simulation of partial differential equations via Schrödingerisation”为题，于2024年发表在Physical Review Letters上。

微分方程是物理、化学、工程等领域科学计算的核心问题。这些方程往往具有高维数，并且常常含有小尺度或者多尺度，同时需要高精度大规模计算。这些因素使得经典计算方法面临巨大挑战，因此，人们期待量子计算能够突破这些计算瓶颈。量子计算机基于量子力学原理构建，其基本运算遵循薛定谔方程的演化性质，也就是从初始的量子态（高维复空间的单位向量），经过酉算子作用，演化到新的量子态。量子电路的量子门也必须是酉矩阵。然而大多数微分方程的演化算子不是酉算子，因此无法直接进行量子模拟，这是量子计算在求解微分方程时面临的根本挑战。

研究团队提出了“薛定谔化”（Schrödingerization）方法（图3-1-1），该方法通过引进一个巧妙的变换(warped phase transformation)，在高一维的傅里叶空间将所有的线性常/偏微分方程均化为薛定谔型的方程（演化算子为酉算子），从而可以进行量子模拟。该方法的一个显著特色是它既适用于量子比特，也适用于连续变量，后者有助于构建模拟量子计算设备，近期较易实现。这种方法避免了对偏微分方程进行离散化处理的需要，可以将D维线性偏微分方程直接映射到（D+1）个量子模qumodes的量子系统上，并可以对（D+1）个量子模采用量子模拟。

许多有重要应用价值的微分方程均为线性偏微分方程，包括金融中的布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）方程、放疗设计的辐射输运方程、地质勘探需要的弹性波方程和通信中的麦克斯韦方程。该“薛定谔化”方法使得发展模拟量子计算设备来求解其中一些方程较易近期实现。一些非线性偏微分方程如哈密顿-雅可比（Hamilton-Jacobi）方程，也通过升维变成线性方程， 从而适用该模拟量子计算方案。同时该方法也使得未来通用量子计算所需要的量子电路的设计变为可能, “薛定谔化”方法的量子电路如图 3-1-2 所示。

这项工作显著地扩展了量子计算能够解决的科学和工程问题的范畴，为量子技术在这些领域的应用开辟了新的令人兴奋的前景。