近日， 上海交通大学自然科学研究院和数学科学学院金石教授， 上海交通大学自然科学研究院和密西根学院副教授Nana Liu 于杂志Physical Review Letters 在线发表了“ Quantum simulation of partial differential equations via Schrodingerisation”的论文。

偏微分方程是科学与工程计算的核心领域， 大量的物理、化学、社会科学与工程问题均可以用偏微分方程来描述。 量子计算机根据量子力学原理设计， 适合求解量子力学的基本方程--薛定谔方程，其演化算子为酉算子， 相应的算法被成为量子模拟。其它在科学与工程中有重要应用的偏微分方程（PDE）， 如果其演化算子不是酉算子的话， 则不适合直接量子模拟。另一方面，由于高维和大规模PDE的经典计算方法有维度灾难，其计算成本随着PDE的维度呈指数级增长，因此人们希望量子计算能克服这些计算瓶颈。

在与他们的博士后余跃的工作中，他们提出了一种称为“薛定谔化”（Schrodingerization）的方法，通过引进一个巧妙的变换， 在高一维傅里叶空间将任何一般的线性常微分和偏微分方程均转化为薛定谔方程的形式, 即演化算子为酉算子，使得其适用于量子模拟。 这种方法基于连续变量，简单且普适，可以在有限维和无限维量子系统中应用。前者对应于量子比特(qubits)框架，后者对应于连续变量量子模(qumodes)框架。量子比特和量子模都可以通过光量子系统和超导体等物理平台来实现。基于连续变量的计算框架对于偏微分方程来说可能更自然，它与大多数传统量子算法不同，这里不需要首先离散偏微分方程，可以将D维线性PDE直接映射到（D+1）个量子模的量子系统上，并可以对（D+1）个量子模采用量子模拟。和受困了噪音干扰的量子比特框架相比， 基于连续变量的模拟量子计算更容易近期实现。

他们用薛定谔化的方法构造了对Liouville 方程, 热传导方程, 线性输运方程，Fokker-Planck 方程， Maxwell’s 方程和金融领域的 Black-Scholes方程的量子模拟方法。该方法还可以处理边界——包括物理和人工边界——以及界面问题，以及大规模线性代数方程组的迭代算法， 也可以扩展到具有不确定性的线性偏微分方程，以减轻经典不确定性量化算法中存在的维数灾难。

“薛定谔化”对量子系统也是适用的， 他们也将该方法应用与制备量子系统的基态和Gibbs 态， 和开放量子系统的人工边界问题。

“薛定谔化”技术的引进， 大大扩展了量子计算求解科学与工程问题的边界。

团队的工作得到了国家自然科学基金委员会、上海市科委、上海交通大学2030-B计划、上海市教委创新计划和教育部“科学工程计算”重点实验室的支持。

相关论文：

1.Quantum simulation of partial differential equations: applications and detailed analysis, Shi Jin, Nana Liu, Yue Yu, Physical Review A, Vol 108, 032603, 2023

2.Time complexity analysis of quantum algorithms via linear representations for nonlinear ordinary and partial differential equations, Shi Jin, Nana Liu, Yue Yu, Journal of Computational Physics, Vol 487, 112149, 2023

论文链接：https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.133.230602

(该论文的预印本于2022年12月投放于arXiv:2212.13969)。