近日，上海交通大学物理与天文学院叶芳伟课题组与合作者，在准周期光子晶格中观察到了光束的定向拓扑输运，并揭示了准周期晶格和其对应的周期晶格在拓扑性质上的根本联系——拓扑的“记忆效应”。研究成果以 “Observation of Thouless pumping of light in quasiperiodic photonic crystals”为题，于2024年11月16日发表于美国科学院院刊PNAS。

研究背景

由于其物理性质对实际系统中引入的随机和杂质高度免疫的特性，拓扑绝缘体、拓扑结构成为近年来的研究热点。一般而言，定义拓扑结构的一个前提条件是系统具有空间周期性，因为只有周期系统才可以计算能带结构，进而定义拓扑陈数之类的拓扑不变量。然而，周期系统意味着波包在其内的演化必然会发生衍射，相比较地，准周期系统，如，光子莫尔晶格、光子准晶均可以让光波发生自动的局域化。这便提出了一个重要的科学问题：是否可以利用准周期系统实现拓扑输运？是否可以定义准周期系统的拓扑陈数？

图1 准周期晶格（左侧）可以用一系列的周期晶格来逼近，就像一个无理数φ = 1/√5（右侧）可以用一系列的连分式来不断逼近一样。随着近似级次的升高，在周期晶格中传输的光束的输出角度（黄色虚线和红色输出箭头之间的夹角）最终收敛至一个固定值。

研究内容

叶芳伟课题组设计了准周期光子晶格，该晶格由两个子晶格叠加而成，这两个子晶格本身都是严格的周期晶格，但它们的周期之比为一无理数（非公度），比如1/√5，其叠加之后形成的复合晶格就失去了严格的周期特性。为了定义其（可能存在的）拓扑不变量，课题组利用“周期逼近法”来近似该无理数。比如，1/√5可以用如下的连分式pn/qn不断逼近：1/2, 4/9, 17/38, 72/161,… 。由于每个连分式对应着一个周期晶格，因此，该方法就可以把准周期问题转化为一系列级次不断升高的周期问题来处理（图1），借此就可以计算各级能带和拓扑陈数。在实验上，课题组制备了一系列不同级次的周期结构，通过观察光束在这一系列周期结构中的传输行为，发现了光束拓扑输运的方向和速度很快收敛到了一个固定的方向和速度值（图2），证明了准周期结构依然具有明确可以定义的拓扑特性。

图2 准周期晶格（φ = 1/√5）中的拓扑输运。(A) 在一个泵浦周期内，第四级周期晶格在z = 0、Z /4、Z /2、3Z/4和Z处对应的晶格图样。(B) 实验测得的光束质心的位置随z的变化。(C) 实验测得的光束传输动力学行为。图中离散的绿色圆点表示质心位置（实验上沿着z轴每隔1 mm测量一次），白色虚线表示y = 0位置，即入射光的入射位置。(D) 在z=2Z处，实验测得（绿色）和理论预测（黑色）的前四级周期晶格中的光束质心位置。曲线 “Experimental 1”表示从整个衍射光场中提取所得的质心位置，而“Experimental 2”则表示通过忽略低于峰值强度20%的光场后，提取所得的质心位置（后者是为了避免背景杂散光的影响）。

拓扑的“记忆效应“

课题组在用“周期逼近法”研究准周期系统的拓扑性质时，发现了拓扑性质上的一个重要规律：随着周期系统的级次不断升高，系统的能带不断地分裂出mini带，但这些mini带的陈数之和始终保持为一个常数！比如，对于两个子晶格的周期之比为1/√5的准周期晶格，在一级近似下（p₁/q₁=1）, 第一个能带的陈数为C=1；在二级近似下（p₂/q₂=4/9），这个能带（以及其他能带）分裂为4个mini带，这四个mini带的陈数分别为-2，-2，7和-3。可以看到，这四个mini带的陈数之和为1，即和母带的陈数相等！如果继续考察第三级近似（p₃/q₃=17/38），则第一个母带分裂成为17个mini带，通过计算这些mini的陈数，发现，尽管每个mini带的陈数出现得不甚有规律，但该17个mini带的陈数之和依然等于1，即依然等于母带的陈数！课题组把周期近似中mini带的陈数之和始终维持为一级近似系统中对应主带的陈数的现象叫做准周期系统的拓扑“记忆效应“！

图3 准周期晶格（φ = 1/√5）对应的前三个周期晶格的能带图。可以看到，从左到右，随着近似级次的升高，每一个主带不断分裂出众多的mini带。然而，这些mini带的陈数之和始终维持为一个固定值。该规律被称为准周期结构的拓扑“记忆效应”。

实际的准周期系统，每个主带包含有无穷多个mini带，这些mini带之间的间隔为无穷小甚至mini带之间互相重叠和交叉，因此，任何波包在准周期系统中的激发，最终都会遍历整个mini带，这自然就导致了波包在mini带中的运动取决于mini带的总陈数，而由于“记忆效应”，该总陈数就等于第一级周期晶格的主带陈数。因此，准周期晶格的拓扑性质实际上取决于其对应的一级周期晶格，该发现揭示了周期和准周期系统之间在拓扑行为上的根本联系。

总结

本研究工作揭示了准周期系统和其对应的周期系统在拓扑性质上的根本联系，发现了准周期结构的拓扑“记忆效应“。研究工作将拓扑输运的概念从传统的周期系统推广到了准周期系统，拓展了拓扑材料的设计自由度，开辟了获得拓扑结构的新途径。

论文第一作者为上海交通大学物理与天文学院的博士生杨凯，通讯作者为叶芳伟教授，合作者有里斯本大学Vladimir Konotop教授和俄罗斯光谱研究所Yaroslav Kartashov研究员。该项研究工作得到了上海市优秀学术带头人和上海市领军人才计划的支持，也得到了中国博士后创新人才支持计划和基金委自然科学基金的支持。

论文链接：https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2411793121