2025年7月29日，2025年度《中国科学：数学》全体编委会议成功召开，会议由主编、院士席南华主持。会上颁发了《中国科学：数学》英文版第七届和中文版第五届“优秀论文奖”，上海交通大学自然科学研究院/数学科学学院教授金石和教授李磊的论文On The Mean Field Limit of The Random Batch Method for Interacting Particle Systems，获得《中国科学：数学》举办的第七届“SCIENCE CHINA Mathematics优秀论文奖”。该论文发表于2022年 SCIENCE CHINA Mathematics（《中国科学：数学》），是计算数学领域唯一获奖论文。

李磊在会议上领奖

奖状

论文简介

基于牛顿第二定律的经典N-体粒子系统广泛出现于分子动力学、天体物理、材料科学、生物和社会科学中的群体问题，以及机器学习和数据科学中的统计采样等领域。这类问题的难点是O(N²)的计算量，由于N 常常达到百万至亿以上的量级，这种计算量是当今计算机无法承受的。针对此类问题，作者2020年提出的随机分批方法(Random Batch Method) (见Journal of Computational Physics，Vol. 400， pp. 108877， 2020)，巧妙和新颖地将机器学习中常用的随机梯度下降法中的随机分批思想用于N-体粒子系统，在每个计算步将N个粒子随机分成许多小组，每组只有少量(p个)的粒子，而粒子之间的相互作用只需在小组内进行即可，这样每步的计算量就降到了O(N)。同时他们证明了该方法在平均场尺度下其均方误差不依赖于N, 这样就保证了虽然计算量降到了O(N)，计算时间却和N无关。随着时间演化，这种随机近似在平均意义下逐渐逼近原始动力学，依赖于时间累积的“大数定律”确保了方法的正确性。尽管多体系统在不同时间区间的状态并非独立，作者证明了该方法在平均场尺度下的均方误差与N 无关，从而保证了在计算量降低至 O(N) 的同时，计算时间不会随着 N 的增大而增长。

随机分批方法虽然是被作为一种算法提出的，但实际上给出了一种全新的交互作用粒子系统，在很多物理与社会学模型里面、可能更具有意义。比如在稀薄气体中的玻尔兹曼方程、等离子体中的朗道方程等模型中，在碰撞发生时，一个粒子只与其中一个粒子发生作用，而非所有其余N-1个粒子。本研究将随机分批方法给出的动力学作为全新的交互作用粒子系统进行研究，研究其在粒子数特别大情形下的极限行为。一个朴素的观察是当粒子数较大时，任意两个指定粒子互不相关的概率极高。这是因为在每个计算步，单个粒子仅与 p−1个粒子相互作用，经过有限步演化后，任意两个粒子曾经产生相互影响的概率极低。基于这一观察，作者推导出了随机分批系统的平均场极限：在每次随机分批时刻，每个粒子仅与另外 p−1个独立的服从相同分布的粒子发生相互作用，直到下一次重新分批。研究严格证明了该平均场极限，同时通过严格的相容性和稳定性分析，作者进一步证明了在 Wasserstein-1 距离下，随机分批方法的误差关于时间步长为一阶。这一结果表明，在随机分批系统中，粒子数趋于无穷的平均场极限与时间步长趋于零的极限在单体边缘分布意义下是可交换的。这一发现不仅加深了对分子碰撞过程中混沌传播的理解，也为高效模拟大规模粒子系统提供了新的理论支持。

该研究工作获得国家自然科学基金委和上海市科委“扬帆计划”的支持。

期刊介绍

期刊封面

SCIENCE CHINA Mathematics（英文版）和《中国科学：数学》（中文版）由中国科学院主管，中国科学院与国家自然科学基金委员会联合主办，是数学领域的重要综合性学术期刊，涵盖基础数学、应用数学、计算数学、科学工程计算、概率统计等多个方向，致力于刊载具有重要学术价值的研究成果。《中国科学：数学》每两年评选一次“优秀论文奖”，本届评选涵盖2022年1月至2023年12月出版的文章。经编委推荐与正副主编会议讨论，共有7篇英文论文和4篇中文论文获奖。据悉，该奖项竞争激烈，每两年从数学科学各个领域中仅遴选一篇代表论文。