■ 很多时候，也许可以把数学看成哲学或者艺术，优秀的数学家其实更应该是哲学家或者艺术家，而不是工程师。

　　■ 数论，在数学中一直占有重要地位，是数学中最古老、最纯粹的一个重要数学分支。

　　■ 近年来由于计算机科学技术的飞速发展，数论已经不仅仅是一门纯粹的数学学科，同时也是一门应用性极强的数学学科，尤其是在密码学中有着广泛而深入的应用。

　　数学是否必须有用?

　　作为一线的数学教师,经常会碰到学生的这个问题。我们学习的这个数学有什么用？如果没有用处的话，我们为什么要学习数学？特别是这么难的数学。如有可能的话，很多同学会更喜欢选择一些实用性更强的课程，便于毕业找工作。在前些年，数学系的招生是比较困难的事情，很多同学不愿意选择数学系，但是近年来情况已经变了很多，数学系的生源是很好的，很多同学都喜欢选择数学系，选择的原因并不是喜欢数学，而是觉得数学是一门很好的工具，可以为了以后更好的改行，特别是转行到金融、银行等高薪领域。在考研方面，数学系的学生也很受欢迎，因为他们有很好的、很扎实的数学基础，进入其它领域和行业，会很快地进入状态，了解和搞懂需要解决的问题以后，可以很快地掌握本质将问题解决或改进。这些其实是无可厚非的。但是数学的本质，特别是其中的基础数学并不是因为有用而存在的。

　　基础数学、或者叫做纯粹数学，本身并不关心它的应用，只是从自身的需要和发展来看问题，如果在其他方面有应用，当然最好，如果没有应用，也不是什么坏事情。很多时候，也许可以把数学看成哲学或者艺术，优秀的数学家其实更应该是哲学家或者艺术家，而不是工程师。应用有时候可能只是她的副产品。数学不是自然科学，只是在自然科学里恰好有用，即使没用，数学还是能存在。艺术家不是商人，它的产品是艺术品，也许很值钱，也许有效益，但是这应该不是他追求的目标，最多只是他的副产品。优秀的数学家，特别是研究基础数学的，更应该是这样。

　　现在我们来看看数学中的一个重要分支数论。数论是研究整数性质的一门理论。整数的基本元素是素数，所以数论的本质是对素数性质的研究。初等数论就是用初等方法来研究数论，主要包括整除理论、同余理论、连分数理论等，其中的最高成就是高斯的“二次互反律”。数论的一个主要目的，就是研究整数或者正整数的性质以及研究代数方程的整数解或者有理数解是否存在的问题，在方程的解存在的情况下，如何求解的问题。在这些问题的研究过程中，根据所利用的方法与技巧就诞生出了解析数论、代数数论、组合数论、概率数论、数的几何等研究方向。

　　数论，在数学中一直占有重要地位，是数学中最古老、最纯粹的一个重要数学分支。正如素有“数学王子”之称的19世纪德国数学大师高斯 (C．F．Gauss)所说：“数学是科学的女王，而数论是数学的王冠。”数论中有大量简明、优美的猜想，而这些猜想中的大多数仍然悬而未决。由于整数的性质复杂深刻，难以琢磨，因此数论长期以来一直被认为是一门优美漂亮、纯之又纯的数学学科。美国芝加哥大学著名数学家迪克森（L.E.Dickson）就曾说过,“感谢神使得数论没有被任何应用所玷污。”20世纪世界级数学大师、剑桥大学的哈代也曾说过，“数论是一门与现实、与战争无缘的纯数学学科。”哈代本人也因为主要从事数论的研究而被尊称为“纯之又纯的纯粹数学家”。

　　数论中著名的费尔玛猜想，大家都知道，就是判定高于二次的一个形式很简单的三元齐次方程是否有非平凡的整数解的问题，那些大家都知道的，显然的整数解是数学家并不关心的。该问题是否解决其实对人类现实社会并没有什么本质的或者显著的影响。她有没有解都不影响人类生活。但是这个问题的解决仍然是数学界的最重大成果之一。

　　不同的文化造就不同的数学

　　从古至今，东西方的文化是非常不同的。西方人善于抽象，善于概括，有不少人执着于对一些距离现实相当远的问题的探索，努力去寻求真理。而东方人，特别是中国人，则多用形象思维，也寻求真理，但严格意义上的逻辑推演相对弱一些。特别愿意研究更具体的对象、更实际的问题，对于规则或者一般规律不是很看重。这是由不同的历史文化传统造成的。

　　在历史上，中国人好作比方，少作推断，局限于具体的细节和事例而不作归纳。我们的祖宗早就知道“勾三股四弦五”。如果问他们勾不等三时怎么办，他们也知道怎么办，但没有总结性地表述，也就是大家熟悉的“勾股定理”：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古人会解一些具体的方程，但做不出 三段论之类的概括。我们古代有著名的著作“九章算术，”里面有很多有用的实例和结论，但是很多更一般的结论没有总结出来。因此，中国的古代数学，多半以“实用数学”的形式出现，目的是为了丈量田亩、兴修水利、分配劳力、计算税收、运输粮食等实用目标。中国数学强调实用的数学，在算法上得到了长足的发展。负数的运用、解方程的开根法，以及杨辉（贾宪）三角、祖冲之的圆周率计算、天元术那样的精致计算课题，也只能在中国诞生。

　　古希腊的文化时尚，是追求真理和一般规律，以获得对大自然的理解为最高目标。因此，他们有了里程碑式的辉煌巨著《几何原本》。西方文明继承了古希腊文明的优秀成果，非常乐于去做不含私利的探索。人生短短的几十年，很多西方人执着地去穷尽宇宙的奥秘，了解世界的普遍规律。这种精神是浪漫的，是需要巨大勇气的。这里边蕴含了大智大勇，这样的智者应当受到认可，得到尊重。   

　　术与道：传说中的法国学派非常重视形式的和逻辑的东西，特别要求自成体系。据说，法国好的中学生对于代数的基本东西非常熟悉，代数的基本结构和里面的可交换性、结合性以及分配率等了如指掌，现在大学里的基本代数也都很熟悉，但是却对初等数学里的四则运算以及其他初等运算不熟悉，在计算的时候经常出错，或者需要利用计算器等来操作。中国学生却对这些基本训练很熟悉，各种题目花样百出，都可以应对裕如，可是对里面基本的思想却并不了解。这也是我们的中学教育应该思考的一个问题。

　　在大学里，各种数学课程也很多，特别是基本的数学课程，高等数学和数学分析等。到底应该如何教学也是一个可以探讨的问题。现在的课堂教学，因为学时短，任务多，华罗庚的教学方式，就很有借鉴意义。他每堂课讲得并不多，但讲得深、很透；不刻意灌输知识，而是教学生怎么思考，怎么研究和解决问题，致力于培养学生的数学研究能力。但是这些对学生和教师的要求也很高，教师要高屋建瓴，高瞻远瞩，学生要勤奋好学，勇于钻研。

　　数学可以有用

　　近年来由于计算机科学技术的飞速发展，数论已经不仅仅是一门纯粹的数学学科，同时也是一门应用性极强的数学学科，尤其是在密码学中有着广泛而深入的应用。提到密码，大家总是和战争、谍报联系起来，其实不然。随着社会发展，密码在商业领域得到越来越多的应用，特别是随着计算机网络通讯的广泛使用，信息安全对于维护社会稳定，促进经济发展和保障国家安全的作用日益显著。密码技术是信息安全的核心技术，意义重大。

　　数论以她的简单易懂而闻名，但是其中的问题确实很难解决。这种特性就为它的应用建立了基础，但是她们本身并不是为了密码而产生的，但是却可以被密码学中的很多问题而促进。比如大整数分解。整数分解就是对给定的正整数n，求出正整数a和b，使之满足n=ab，其中a和b可以是素数，也可以是合数。根据算术基本定理，只要能够快速求出a，b，那么就能很快地求出n的素数分解式。这是初等数论中最基本的定理，证明也是很简单的。也就是说理论上很简单，但是如果这个数字非常大，那么真正分解起来并不容易，特别是要求在有限时间里的话，就是利用大型计算机也是很困难的。现在人们根本就没有满意的快速整数分解算法，目前世界上最快的整数分解算法是波拉德（J.Pollard）首创的数域筛法（NFS）。利用大整数分解的困难性，1978年，美国MIT的三位科学家里维斯特(R.L.Rivest)，沙米尔(A.Shamir)和阿德尔曼(L.Adleman)（简称RSA）提出了一种实用的公钥密码体制，现通称为RSA体制。

　　现在最具代表性的三种现代公钥密码体制，都是基于三种各不相同的数论难题的，即整数分解、离散对数以及椭圆曲线上的离散对数。目前世界上几乎所有具有实用价值的公钥密码体制，基本上都是基于这三种数论难题的。也就是将密码的加密、解密、破译等问题与数论难题的求解联系在一块了。密码难破译是因为数论问题难解。因此，在这里，不仅数论本身的理论与方法有实用价值，就是数论里的难题也为现实生活提供了应用的场所。国际上公认的比较安全实用的公钥密码体制是所谓的椭圆曲线密码体制。其思想是在基于有限域的椭圆曲线上对信息进行加密解密。由于有限域上椭圆曲线的离散对数实际上是一般有限域上的离散对数在椭圆曲线上的一种类比物，因此它至少在实用上比一般有限域上的离散对数的计算要困难些，因此其安全性也要强一些。如果这些数论问题能够比较简单的解决，那么这些密码体系将不复存在。

　　学者小传

　　李红泽，上海交通大学数学系教授，博士生导师。1990年在山东大学数学系获理学博士学位并留校任教，并于1994年晋升为教授。2000年入选教育部首届优秀青年教师教学和科研奖励计划项目。现为上海交通大学数学系副系主任。长期承担本科生、研究生的各类数学课程的教学。

　　主要研究领域为解析数论，其中包括素数分布、数论中的堆垒问题、组合加法、自守L-函数等。对整数序列和差的多项式表示、密率型Vinogradov 三素数定理、L-函数理论中的Linnik-Ibragimov猜测等若干重要问题，取得了一些有重要意义和广泛影响的成果。在Forum Math、 Combinatorica、 Math Proc Camb Phil Soc、 Quart J Math、 J Number Theory、 Acta Arith等国际上有重要影响的学术刊物发表论文四十多篇。先后主持国家自然科学基金项目6项（在研1项）、上海市曙光人才计划项目1项、上海市教委科研创新重点项目1项和教育部留学回国人员基金项目1项。2000-2001年在加拿大University of Regina做访问学者。2005-2006年在美国哈佛大学做访问学者。2013年世界华人数学家大会邀请报告者。