[编者按] 继2011年上半年推出“身边的感动”系列报道受到广泛好评后，从2011年10月起，我们推出了新栏目“学者笔谈”。本栏目将陆续推出一批我校有影响的学者，重点展示他们在人才培养、科学研究、服务社会和文化传承与创新等方面的观点和见解、思路和做法及理论和实践，旨在弘扬科学精神，激荡人文情怀，回归学术本位，浓郁学术气象，全面提升交大学术的影响力和传播力。

　　■ 在计算机技术飞速发展的今天，有必要培养学生探寻以算法为核心的中国传统数学，感悟先人为人类文明做出的独特贡献，进而提高他们独辟蹊径、开拓创新的能力。

　　■ 教学对教师能力的提升有重要推动作用，教学相长，其乐融融。

　　■ 潜心研读经典，向大师学习，站在巨人的肩膀上，攀登科学更高峰，是获得原创性高水平科研成果的有效途径。

　　■ 制度建设是学术健康发展的核心和关键。

　　中国传统文化中的数学算法

　　2010年4月下旬国家教学名师、南开大学数学科学学院顾沛教授访问上海交通大学数学系，交流人才培养心得，以“数学文化”为题做客数学系“名师讲坛”，为广大学生介绍数学之精妙和数学在培养一个人的文化素养方面所发挥的重要作用。顾教授的报告深入浅出，言简意赅，妙趣横生。我记忆最深的一幕是，他指着2002年北京国际数学家大会开幕式图片问：“这个会标代表什么意思？”然后说明它就是我国古代数学家赵爽证明勾股定理的弦图，并给出基于出入相补原理的具体证明过程。非常引人入胜！2010年7月下旬，我在由四川大学主办的、国家自然科学基金委资助的西南高校青年教师暑期班上做科普报告“从π的计算谈科学计算”，把他的这段内容放入报告中，用于说明出入相补原理之来源，并介绍了如何使用该原理证明刘徽不等式，这个不等式是刘徽“割圆术”的理论基础。该报告效果非常好，反响强烈，学员纷纷向我索要报告文档。从成都回来后，我深深意识到很有必要开设一门讲解《中国传统文化中的数学算法》的通识教育课程，通过这些看似简单的算法的剖析，让学生体验到古人“成如容易最奇崛，看似平淡却艰辛”的意境，也感悟到“有用之用”和“无用之用”之间的辩证关系。

　　为此，我研读了十数本中国数学史和世界数学史专著，并通过中国期刊网检索了过百篇相关论文并认真研究，最终确定了该课程的教学大纲和教学内容。在当年的通识教育核心课程申报中，通过专家论证和面试答辩，这门课程最终获批建设。

　　在建设这门课程的过程中，我深深体会到，中国传统文化中的数学思想与方法是中华灿烂文化的重要组成部分，是人类文明史中的瑰宝。《九章算术》、刘徽的“割圆术”、祖冲之对圆周率π的高精度计算、中国剩余定理等成果交相辉映，是其中的杰出代表。按我国著名数学家、国家最高科学技术奖获得者吴文俊院士的观点，贯串在整个数学发展历史过程中有两个中心思想，一是公理化思想，另一是机械化的思想。公理化的思想源于古希腊，欧几里德《几何原本》是这方面历史上的代表作，也是公理化思想的滥觞。而机械化的思想（算法的思想）则贯穿于整个中国传统数学，以《九章算术》为代表作，一直影响着中国传统数学的发展。

　　由于近现代中国数学发展的停滞与落后，现代数学主要由西方学者完成，公理化思想在现代数学尤其是纯粹数学中占据着统治地位。这个历史现状带来的一个严重后果是，在我国的中高等数学教育中，很少提及中国传统数学思想，介绍的也只是零星的碎片。只有数学大师华罗庚、吴文俊等人，洞悉到中国传统数学的深刻思想，不遗余力地加以宣传，并用之于科学研究中。因此，在计算机技术飞速发展的今天，我们很有必要培养学生探寻以算法为核心的中国传统数学，感悟先人为人类文明做出的独特贡献，进而提高他们独辟蹊径、开拓创新的能力。

　　现在我们已经完成该课程教材初稿的编写工作，以讲义的形式供同学们使用。在本课程近两年的建设过程中，我花费了不少精力投入其中，在几乎每章都编写了具有鲜明特色的思考与超越模块，用于培养学生批判创新能力，期间的感想也颇多，下面就来谈谈自己的一些浅见。

　　教学相长，其乐融融

　　笔者自1992年博士毕业后，一直在上海交大数学系工作，长期奔忙于教学岗位第一线，开设课程不下二十余门，参编教材一本，自编讲义两本，指导（含毕业）博士生十名、硕士生二十名以上，在教学和人才培养上投入很大精力，也对此多有思考。唐代著名散文家韩愈有言:“师者，所以传道受业解惑也。”，按今天的白话文翻译即为：“老师，是用来传授道理，讲授学业，解答疑难问题的。”但对此观点我不敢苟同，这个观点高度强调了教师的训导作用，忽略了教师和学生的交流与互动，教学对教师能力提升的重要影响。因此，我更赞同教学相长的观点。查阅辞典，教学相长语出《礼记o学记》：“是故学然后知不足，教然后知困。知不足然后能自反也，知困然后能自强也。故曰教学相长也。” 意为教和学两方面互相影响和促进，都得到提高。

　　在构思和编写通识教育核心课程《中国传统文化中的数学算法》的讲义过程中，我对此感想最深。笔者在科研上主要从事数学建模和科学计算的研究工作，因此对数学算法的研究现状和发展方向还是比较了解的，在教学中也非常强调展示算法的思想和起源。记得在上数学系方向基础课《偏微分方程数值解》中的“抛物型方程差分方法的外推法”一节时，我计划先介绍圆周率π的外推法作为铺垫，再来讲解相应内容。查阅百度百科，在“割圆术”这一词条中赫然写着：“所谓”割圆术“，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。”在讲课时我也就采用了这个说法。在对《中国传统文化中的数学算法》备课过程中，通过查阅多本中国数学史专著始知，刘徽的“割圆术”实为用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法。从数学推导观点看，以上两种方法是等价的，但从数学史的角度看，百度百科的描述则是完全错误的！事实上，中国古代几何是以“面积”为核心研究对象的，这是不同于古希腊欧几里德几何的最鲜明特点之一。中科院院士张景中正是感悟到这一思想精髓，创立了消点法从而和他人合作研制出具有可读的几何定理机器证明自动生成软件，获得享誉世界的原创成果。

　　以上类似经历还有不少，而且更多的是涉及教学中的批判与创新，在此就不一一列举了。所以，笔者深深感觉到，在教学过程中不但让学生学到了新知识、提升了研究能力，我自己也多有收获，的确是教学相长，其乐融融！

　　潜心经典，批判创新，宁静致远

　　从公元前20世纪到14世纪，3000多年之间，中华民族在数学科学上取得丰硕成果，数学典籍无数，而《九章算法》（以下简称《九章》）是其中的最重要著作。《九章》是我国古代数学的集大成之作，作者应该不止一人，但至迟在公元一世纪已有现传本的内容。《九章》全书共分九卷，包含246道题，可以视作一本习题集。该书的主要缺点是，各种算法陈述过于简单，并且只依题列术不讲原理，很难让人掌握其中的方法，更谈不上了解各法之间的关系，这给后人学习数学带来巨大不便。有鉴于此，我国古代伟大数学家刘徽（魏晋时人）从小就学习《九章》，他治学严谨，使用毕生精力钻研《九章》并深入开展注释工作。正如他自己所言：“徽幼习九章，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注。”

　　刘徽不仅对《九章算术》中的246 道题一一注解，使之图文并茂，且从理论上给予每一问题严格论证，开创了我国古代数学逻辑推理方法之先河，正如他自己所说：“不有明据，辩之斯难。”而在推理过程中，他对诸如分析与综合，归纳与推广、演绎、反驳等多种方法运用自如，处处闪烁着逻辑思维的光辉。

　　由于刘徽的这个伟大工作，中国古代数学从此有了自己完整而严谨的理论体系，他也因此奠定了自己在中国乃至世界数学史的历史地位。

　　特别值得一提的是，刘徽创立“割圆术”计算圆周率π，成就人类文明史中的不朽篇章。刘徽的割圆术孕育以下极其重要的数学思想：他把圆看作边数无穷的正多边形，而边数有限的正多边形的面积是已知的，可求的、也就是说，他用有限来逼近无穷，用现代数学的观点看，刘徽已具有极限思想的萌芽；圆的面积是要求的，未知的，但是正多边形的面积是可求的，已知的，刘徽提出了用已知的、可求的量来逼近未知的、要求的量的计算方法；他给出了求解π的计算解的上下界估计，从而可以根据计算结果得到计算解的误差估计，这正是当代科学计算前沿领域后验误差估计和自适应算法思想的精髓，可以毫不夸张的说，刘徽是自适应算法的鼻祖。

　　正是因为刘徽穷毕生之功力潜心于数学经典《九章算术》之研究，心无旁骛，批判创新，从而将中国古代数学推进到前所未有的顶峰，独步世界之巅。

　　应该指出的是，刘徽的这种为学之道在今天也很值得借鉴。中国大学长期存在“论文导向”的跟踪型科学研究，很难产生高水平科研成果。现在很多学者也意识到了这一点，提倡“问题导向”的原创性研究。实际上，潜心研读经典，向大师学习，站在巨人的肩膀上，攀登科学更高峰，也是获得高水平科研成果的另一有效途径。吴文俊院士就曾经说过，他的数学机械化理论与方法就是植根于中国古代数学思想和著作，经长年探索而产生的。 因此，我们在这里回望刘徽、学习刘徽，对开展高水平原创性研究无疑具有重要的现实指导意义。

　　制度建设是学术健康发展的核心和关键

　　尽管中国传统数学曾经在世界上长期居于领先地位，但它的固有局限性阻碍了中国数学的进一步发展。首先，中国的传统数学主要是以算筹为工具发展起来的。筹算关心的是算，证明处在一个次要的地位，从而忽视了高水平抽象理论的系统建设。其次，中国传统数学喜欢“寓理于算”，但“寓理于算”不见得能把理论讲清楚，例子实际上就是特例，再好的例子也不能覆盖全部的情形。而掌握了形式化了的理论就可以用于不同的特例，得到一般性的结果。在这方面，中国传统数学没有引入一套合适的数学符号，是导致在数学发展到一定高度时，我们的前辈无法将具体计算提升到形式化理论的重要原因之一。

　　以上谈的是中国传统数学自身的一些缺陷，但对它造成最大伤害的不是这些因素，而是中国封建社会的落后制度。在封建社会的中国，儒家思想是中国文化的主流，而数学被看成“`六艺”之末，从来被儒家所轻视。后来科举制度的出现加剧了这一现象，考试以朱熹注的“四书”为主，不久又发展为完全以“四书”、“五经”命题，知识分子为了功名利禄只能埋头研究这些著作，社会上形成了鄙视科学的思潮，使得知识分子远离自然科学。在这种体制下，中国传统数学的沦落就在所难免了。

　　回顾中国传统数学由盛而衰的历史进程，我们可以深刻感受到制度建设对学科发展的重要影响。从人文角度看，这是笔者探究中国古代数学算法所得到的最大启示。经过三十多年的改革开放，我国的国民经济建设取得了巨大的进步，国力得到了空前的增强，国家也对科技和文化建设高度重视，将创新视为一个民族进步的灵魂、一个国家兴旺发达不竭的动力。我们有理由相信，随着我国人才体制建设的不断改进与完善，经过几代人的不懈努力，在不远的将来，中华数学必将迎来伟大的复兴！

　　学者小传

　　黄建国，上海交通大学数学系教授，博士生导师。1986年本科毕业于复旦大学数学系，1992年在复旦大学数学所获理学博士学位。现为上海交通大学数学系副系主任，中国计算数学协会理事，上海市高校计算科学E-研究院特聘研究员，国际学术刊物Journal of Applied Mathematics and Statistics编委。2006年获教育部新世纪优秀人才称号。

　　长期从事科学计算与数学建模的教学科研工作。受学校选派于2002年赴宁夏大学数学与计算机学院承担《数学建模》重点课程的师资培训工作和课程教学任务，为宁夏大学数学建模教学工作奉献了一份力量，受到国家教育部表彰。参加国家教学名师乐经良教授等主编的面向二十一世纪教材《数学实验》的编写工作，2005年获上海交大思源优秀教师一等奖，所指导团队多次获得全国和美国数学建模竞赛一等奖，指导的博士生论文获2011年上海市优秀博士学位论文。长期从事偏微分方程数值解，组合弹性结构问题的数学模型和有限元方法，反问题数值解等的研究工作，取得有重要价值科研成果。在SINUM，SISC，SIMAX, Math. Comp.，Numer. Math., Inverse Problems等国际有重要影响的学术刊物发表SCI论文四十多篇，另有二十多篇论文发表在国内一流刊物。先后5次主持国家自然科学基金项目（在研2项），参加973项目和上海市重点项目各1项。